리 초대수 이론에서, 리 초대수의 표현(表現, 영어: representation)은 어떤 리 초대수의 원소들을 초행렬들로 나타내는 것이다.[1]:§§32–40, §60 추상적으로, 이는 리 초대수에서, 어떤 초벡터 공간 위의 선형 초대수로 가는 리 초대수 준동형이다.
체 위의 유한 차원 초벡터 공간 위의 선형 초대수(영어: linear superalgebra) 를 생각하자. 이는 모든 초행렬
들로 구성되는 리 초대수이다. 그 보손 성분은
이며, 그 페르미온 성분은
이다.
체 위의 리 초대수 의 표현은 어떤 초벡터 공간 위의 선형 초대수로 가는 -리 초대수 준동형
이다.[1]:§32
즉, 구체적으로 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 리 대수의 표현
- 리 대수의 표현
- -선형 변환
- -선형 변환
이는 네 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
(인 경우는 리 대수의 표현의 정의에 포함된다.)
임의의 리 초대수 및 초벡터 공간 에 대하여, 값이 0인 상수 함수 는 자명하게 리 초대수의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(영어: trivial representation)이라고 한다.
모든 리 초대수 는 스스로 위의 표현
을 갖는다. 이를 의 딸림표현이라고 한다.[1]:§32
리 초대수 에서, 만약 인 경우, 의, 초벡터 공간 위의 표현은 단순히 의 두 개의 (과 위의) 표현에 불과하다.